मान लीजिए a, b, c in mathbb{R} है। यदि f(x) = | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$ और $a + b + c = 3$,इसलिए $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 3$ है। फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy

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$330$

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(A) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$ और $a + b + c = 3$,इसलिए $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 3$ है। फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ दिया गया है। $y = 1$ रखने पर,हमें $f(x + 1) = f(x) + f(1) + x$ प्राप्त होता है। $f(1) = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,$f(x + 1) - f(x) = x + 3$ प्राप्त होता है। $x = 1$ से $n - 1$ तक योग करने पर: $\sum_{x=1}^{n-1} (f(x+1) - f(x)) = \sum_{x=1}^{n-1} (x + 3)$। यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $f(n) - f(1) = \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1)$। चूंकि $f(1) = 3$,इसलिए $f(n) = 3 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3 = \frac{n^2 + 5n}{2}$। अब,$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \sum_{n=1}^{10} (\frac{n^2}{2} + \frac{5n}{2})$ की गणना करते हैं। योग सूत्रों $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर: $\sum_{n=1}^{10} f(n) = \frac{1}{2} \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right)$। $= 192.5 + 137.5 = 330$।

मान लीजिए $a, b, c \in \mathbb{R}$ है। यदि $f(x) = ax^2 + bx + c$ इस प्रकार है कि $a + b + c = 3$ और $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy, \forall x, y \in \mathbb{R}$,तो $\sum_{n=1}^{10} f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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