मान लीजिए f: R rightarrow R को f(x)=begin{cas | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = 2$. सबसे पहले,बाएँ हाथ क

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$1$

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(B) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = 2$. सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें: $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(-h) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \beta + \left[ \frac{\sin(-h) - (-h)}{(-h)^3} \right] \right) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \beta + \left[ \frac{-\sin h + h}{-h^3} \right] \right) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \beta + \left[ \frac{\sin h - h}{h^3} \right] \right)$. टेलर श्रेणी विस्तार $\sin h = h - \frac{h^3}{6} + \dots$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\sin h - h}{h^3} = \frac{-h^3/6}{h^3} = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है। अतः,$LHL$ $= \beta + [-1/6] = \beta - 1$. चूँकि $LHL$ $= f(0)$,इसलिए $\beta - 1 = 2 \Rightarrow \beta = 3$. अब,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें: $\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \alpha + \frac{\sin [h]}{h} \right)$. $0 चूँकि $RHL$ $= f(0)$,इसलिए $\alpha = 2$. अंत में,$\beta - \alpha = 3 - 2 = 1$.

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