मान लीजिए कि f सभी x geq 0 के लिए एक गैर-स्थि | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(x)} \quad \dots (i)$ गुणधर्म $\int_{0}^{a} g(x) dx = \int_{0}^{a} g(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int

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$\frac{a}{2}$

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(C) मान लीजिए $I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(x)} \quad \dots (i)$ गुणधर्म $\int_{0}^{a} g(x) dx = \int_{0}^{a} g(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(a-x)}$ दिया गया है कि $f(x) f(a-x) = 1$, इसलिए $f(a-x) = \frac{1}{f(x)}$। इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+\frac{1}{f(x)}} = \int_{0}^{a} \frac{f(x) dx}{f(x)+1} \quad \dots (ii)$ समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(x)} + \int_{0}^{a} \frac{f(x) dx}{1+f(x)}$ $2I = \int_{0}^{a} \frac{1+f(x)}{1+f(x)} dx = \int_{0}^{a} 1 dx$ $2I = [x]_{0}^{a} = a$ $I = \frac{a}{2}$

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