मान लीजिए [ cdot ] महत्तम पूर्णांक फलन है और | vedclass

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Question

(B) गुणधर्म $x-1 < [x] \leq x$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास है: $\sum_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{3^x} - 1 \right) < \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x}

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$2$

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(B) गुणधर्म $x-1 $n^3$ से विभाजित करने और $n 	o \infty$ सीमा लेने पर:$\lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{3^x} - 1 ight) चूंकि $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, हमारे पास $\lim_{n 	o \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3 \cdot 3^x} = \frac{1}{3 \cdot 3^x} = \frac{1}{3^{x+1}}$ है।स्क्वीज़ प्रमेय द्वारा, $f(x) = \frac{1}{3^{x+1}}$.अब, $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j) = 12 \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{3^{j+1}} = 12 \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots ight)$.यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।योग $= 12 \left( \frac{1/9}{1 - 1/3} ight) = 12 \left( \frac{1/9}{2/3} ight) = 12 \left( \frac{1}{6} ight) = 2$.

मान लीजिए $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right]$. तो $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j)$ का मान ........... है।

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