मान लीजिए I(x)=intfrac{3dx}{(4x+6)(sqrt{4x^{2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $I(x) = \int \frac{3dx}{(4x+6)\sqrt{4x^2+8x+3}}$.समाकल को $I(x) = \int \frac{3dx}{(4x+6)\sqrt{(2x+2)^2-1}}$ के रूप में लिखें।मान लीजिए

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$31$

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(C) दिया गया है $I(x) = \int \frac{3dx}{(4x+6)\sqrt{4x^2+8x+3}}$.समाकल को $I(x) = \int \frac{3dx}{(4x+6)\sqrt{(2x+2)^2-1}}$ के रूप में लिखें।मान लीजिए $2x+2 = \sec 	heta$, तो $2dx = \sec 	heta 	an 	heta d	heta$.साथ ही, $4x+6 = 2(2x+2)+2 = 2\sec 	heta + 2 = 2(\sec 	heta + 1)$.इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:$I(x) = \int \frac{3 \cdot \frac{1}{2} \sec 	heta 	an 	heta d	heta}{2(\sec 	heta + 1)	an 	heta} = \frac{3}{4} \int \frac{\sec 	heta}{\sec 	heta + 1} d	heta = \frac{3}{4} \int \frac{1}{\cos 	heta + 1} d	heta = \frac{3}{4} \int \frac{1}{2 \cos^2(	heta/2)} d	heta = \frac{3}{8} \int \sec^2(	heta/2) d	heta$.$I(x) = \frac{3}{8} \cdot 2 	an(	heta/2) + C = \frac{3}{4} 	an(	heta/2) + C$.चूंकि $\sec 	heta = 2x+2$, $	an^2(	heta/2) = \frac{1-\cos 	heta}{1+\cos 	heta} = \frac{1-1/(2x+2)}{1+1/(2x+2)} = \frac{2x+1}{2x+3}$.अतः, $I(x) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2x+1}{2x+3}} + C$.दिया गया है $I(0) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{1}{3}} + C = \frac{\sqrt{3}}{4} + C = \frac{\sqrt{3}}{4} + 20$, इसलिए $C=20$.इस प्रकार, $I(x) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2x+1}{2x+3}} + 20$.$x = 1/2$ के लिए, $I(1/2) = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{1+1}{1+3}} + 20 = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2}{4}} + 20 = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 20 = \frac{3\sqrt{2}}{8} + 20$.यहाँ $a=3, b=8, c=20$ है। $gcd(3,8)=1$.इसलिए, $a+b+c = 3+8+20 = 31$.

मान लीजिए $I(x)=\int\frac{3dx}{(4x+6)(\sqrt{4x^{2}+8x+3})}$ और $I(0)=\frac{\sqrt{3}}{4}+20$ है। यदि $I(\frac{1}{2})=\frac{a\sqrt{2}}{b}+c$, जहाँ $a, b, c \in N$ और $gcd(a,b)=1$, तो $a+b+c$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int \frac{dx}{2 + \cos x} = $

$\int \frac{\sin x}{\sin x - \cos x} \, dx = $

$\int \frac{1}{\left(1+x^2\right) \sqrt{x^2+2}} d x=$

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \sqrt{x^2+4x+1} \, dx = \text{ . . . . . . } + C$.

$\int(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x=$

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