मान लीजिए कि (2^{1-a} + 2^{1+a}), f(a), (3^a | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $(2^{1-a} + 2^{1+a})$, $f(a)$, और $(3^a + 3^{-a})$ समांतर श्रेणी में हैं, इसलिए $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$.चूंक

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$\frac{1}{4}\log_e(\frac{4}{3})$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $(2^{1-a} + 2^{1+a})$, $f(a)$, और $(3^a + 3^{-a})$ समांतर श्रेणी में हैं, इसलिए $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$.चूंकि $2^{1-a} + 2^{1+a} = 2(2^{-a} + 2^a)$, और $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार, $2^a + 2^{-a} \geq 2$, इसलिए $2^a + 2^{-a}$ का न्यूनतम मान $2$ है।इसी प्रकार, $3^a + 3^{-a}$ का न्यूनतम मान $2$ है।अतः, $2f(a) \geq 2(2) + 2 = 6$, जिसका अर्थ है कि $f(a) \geq 3$. इसलिए, $\alpha = 3$.समाकलन $I = \int_{\log_e 2}^{\log_e 3} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}} = \int_{\log_e 2}^{\log_e 3} \frac{e^{2x} dx}{e^{4x} - 1}$ हो जाता है।मान लीजिए $u = e^{2x}$, तो $du = 2e^{2x} dx$, इसलिए $e^{2x} dx = \frac{du}{2}$.जब $x = \log_e 2$, तब $u = e^{2\log_e 2} = 4$. जब $x = \log_e 3$, तब $u = e^{2\log_e 3} = 9$.$I = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log_e |\frac{u-1}{u+1}| \Big|_4^9 = \frac{1}{4} (\log_e \frac{8}{10} - \log_e \frac{3}{5}) = \frac{1}{4} \log_e (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3}) = \frac{1}{4} \log_e (\frac{4}{3})$.

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