मान लीजिए f: R to R एक फलन है ताकि f(x) + 3f( | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) + 3f(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$  $(1)$। $x$ को $\frac{\pi}{2} - x$ से प्रतिस्थापित करने पर, हमें $f(\frac{\pi}{2} - x) + 3f(x)

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$16$

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(A) दिया गया है $f(x) + 3f(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$  $(1)$। $x$ को $\frac{\pi}{2} - x$ से प्रतिस्थापित करने पर, हमें $f(\frac{\pi}{2} - x) + 3f(x) = \cos x$  $(2)$ प्राप्त होता है। समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $3f(\frac{\pi}{2} - x) + 9f(x) = 3\cos x$  $(3)$। समीकरण $(3)$ में से $(1)$ घटाने पर: $8f(x) = 3\cos x - \sin x$। अतः, $f(x) = \frac{3}{8}\cos x - \frac{1}{8}\sin x$। $f(x) = A\cos x + B\sin x$ का अधिकतम मान $\sqrt{A^2 + B^2}$ होता है। अतः, $\alpha = \sqrt{(\frac{3}{8})^2 + (-\frac{1}{8})^2} = \sqrt{\frac{9+1}{64}} = \frac{\sqrt{10}}{8}$। तब $\alpha^2 = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$। वक्र $g(x) = x^2$ और $h(x) = \beta x^3$ बिंदु $x^2 = \beta x^3$ पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिससे $x = 0$ और $x = \frac{1}{\beta}$ प्राप्त होता है। क्षेत्रफल $\int_0^{1/\beta} (x^2 - \beta x^3) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{\beta x^4}{4}]_0^{1/\beta} = \frac{1}{3\beta^3} - \frac{1}{4\beta^3} = \frac{1}{12\beta^3}$ है। दिया गया है कि $\frac{1}{12\beta^3} = \alpha^2 = \frac{5}{32}$। अतः, $12\beta^3 = \frac{32}{5} = 6.4$, इसलिए $\beta^3 = \frac{6.4}{12} = \frac{8}{15}$। अंत में, $30\beta^3 = 30 	imes \frac{8}{15} = 16$।

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