मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण x sin(frac{y}{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$ है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर, $dy = v dx + x dv$ प्राप्त होता ह

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$9$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \sin(\frac{y}{x}) dy = (y \sin(\frac{y}{x}) - x) dx$ है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर, $dy = v dx + x dv$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $x \sin v (v dx + x dv) = (vx \sin v - x) dx$.
$vx \sin v dx + x^2 \sin v dv = vx \sin v dx - x dx$.
$x^2 \sin v dv = -x dx \Rightarrow \sin v dv = -\frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\cos v = -\ln|x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{2}$ दिया गया है, इसलिए $v(1) = \frac{\pi}{2}$ होगा।
$-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः, $\cos(\frac{y}{x}) = \ln x$.
दिया है $\alpha = \cos(\frac{e^{12}}{e^{12}}) = \cos(1)$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2px + 2py + \alpha + 2 = 0$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{p^2 + (-p)^2 - (\alpha + 2)} = \sqrt{2p^2 - \alpha - 2}$ है।
शर्त $r \leq 6$ के लिए, $2p^2 - \alpha - 2 \leq 36$.
$2p^2 \leq 38 + \alpha$.
चूंकि $\alpha = \cos(1) \approx 0.54$, इसलिए $2p^2 \leq 38.54 \Rightarrow p^2 \leq 19.27$.
$p$ के संभावित पूर्णांक मान $p \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
इस प्रकार, कुल $9$ मान प्राप्त होते हैं।

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