मान लीजिए g(x) = x cdot f(x),जहाँ f(x) = begi | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x 
e 0 \ 0, & x = 0 \end{cases}$।तब $g(x) = x \cdot f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{

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$g$ अवकलनीय है लेकिन $g'$ सतत नहीं है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x 
e 0 \ 0, & x = 0 \end{cases}$।तब $g(x) = x \cdot f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x 
e 0 \ 0, & x = 0 \end{cases}$।$x = 0$ पर $g(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:$g'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} h \sin(1/h)$।चूँकि $\lim_{h 	o 0} h = 0$ और $\sin(1/h)$,$[-1, 1]$ में परिबद्ध है,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$g'(0) = 0$ है।अतः,$g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।अब,$x 
e 0$ के लिए,$g'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 \sin \frac{1}{x}) = 2x \sin \frac{1}{x} + x^2 \cos \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$।जैसे $x 	o 0$,$2x \sin \frac{1}{x} 	o 0$,लेकिन $\lim_{x 	o 0} \cos \frac{1}{x}$ का अस्तित्व नहीं है।इसलिए,$\lim_{x 	o 0} g'(x)$ का अस्तित्व नहीं है,जिसका अर्थ है कि $g'(x)$,$x = 0$ पर सतत नहीं है।

मान लीजिए $g(x) = x \cdot f(x)$,जहाँ $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है। $x = 0$ पर $g$ की अवकलनीयता की चर्चा कीजिए।

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