मान लीजिए f(x) = left| begin{array}{ccc} x^3 | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & \sin x & \cos x \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight|$.चूंकि सारणिक का अवकलन एक स

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$p$ से स्वतंत्र

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(D) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & \sin x & \cos x \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight|$.चूंकि सारणिक का अवकलन एक समय में एक पंक्ति का अवकलन करके प्राप्त सारणिकों का योग होता है,और दूसरी तथा तीसरी पंक्तियाँ स्थिरांक हैं,इसलिए तीसरा अवकलज $f'''(x)$ पहली पंक्ति का तीन बार अवकलन करने से प्राप्त होता है:$f'''(x) = \left| \begin{array}{ccc} \frac{d^3}{dx^3}(x^3) & \frac{d^3}{dx^3}(\sin x) & \frac{d^3}{dx^3}(\cos x) \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight|$अवकलन करने पर:$\frac{d^3}{dx^3}(x^3) = 6$$\frac{d^3}{dx^3}(\sin x) = -\cos x$$\frac{d^3}{dx^3}(\cos x) = \sin x$अतः,$f'''(x) = \left| \begin{array}{ccc} 6 & -\cos x & \sin x \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight|$.$x = 0$ पर:$f'''(0) = \left| \begin{array}{ccc} 6 & -\cos(0) & \sin(0) \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight| = \left| \begin{array}{ccc} 6 & -1 & 0 \ 6 & -1 & 0 \ p & p^2 & p^3 \end{array} ight|$.चूंकि पहली दो पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।अतः,परिणाम $0$ है,जो $p$ से स्वतंत्र है।

मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & \sin x & \cos x \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$,जहाँ $p$ एक स्थिरांक है। तो $x = 0$ पर $\frac{d^3}{dx^3} \{f(x)\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^3 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$ है। तो $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A = \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x^2-x & x^2+x \\ 3x(x-1) & x(x^2-3x+2) & x(x^2-1) \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) ज्ञात कीजिए।

यदि आव्यूह $A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha\end{array}\right]$ की कोटि (rank) $3$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

आव्यूह $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 8\end{array}\right]$ की कोटि (Rank) ज्ञात कीजिए।

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