मान लीजिए कि r,R (वास्तविक संख्याओं का समुच्च | vedclass

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Question

(B) $R$ पर संबंध $r$ इस प्रकार परिभाषित है: $r = \{(a,b) \in R 	imes R \mid a - b + \sqrt{3} \in R \setminus Q \}$.$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in R$

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केवल स्वतुल्य

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(B) $R$ पर संबंध $r$ इस प्रकार परिभाषित है: $r = \{(a,b) \in R 	imes R \mid a - b + \sqrt{3} \in R \setminus Q \}$.$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in R$ के लिए,$aRa \iff a - a + \sqrt{3} = \sqrt{3}$. चूंकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए सभी $a \in R$ के लिए $aRa$ सत्य है। अतः,$r$ स्वतुल्य है.$2$. सममितता: $r$ के सममित होने के लिए,$aRb \implies bRa$ होना चाहिए। मान लीजिए $a = \sqrt{3}$ और $b = 0$. तब $a - b + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 0 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$,जो अपरिमेय है। इसलिए,$(\sqrt{3}, 0) \in r$. हालाँकि,$b - a + \sqrt{3} = 0 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 0$,जो एक परिमेय संख्या है। इसलिए,$(0, \sqrt{3}) 
otin r$. अतः,$r$ सममित नहीं है.$3$. संक्रामकता: $r$ के संक्रामक होने के लिए,$aRb$ और $bRc \implies aRc$ होना चाहिए। मान लीजिए $a = \sqrt{3}$,$b = 0$,और $c = 2\sqrt{3}$. $aRb \implies \sqrt{3} - 0 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ (अपरिमेय).$bRc \implies 0 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = -\sqrt{3}$ (अपरिमेय).$aRc \implies \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0$ (परिमेय).चूंकि $aRc$ अपरिमेय नहीं है,इसलिए $r$ संक्रामक नहीं है.अतः,$r$ केवल स्वतुल्य है.

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यदि $R$ और $R^1$ एक समुच्चय $A$ पर तुल्यता संबंध (equivalence relations) हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सा भी एक तुल्यता संबंध है?

माना $R$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर $nm \ge 0$ द्वारा परिभाषित एक संबंध है। तब $R$ है:

माना $A = \{1, 2, 3, 4\}$ तथा $R, A$ में एक संबंध है,जो $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (1, 3)\}$ द्वारा दिया गया है। तब $R$ है:

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