मान लीजिए कि ग्यारह अक्षर $A, B, ....., K$ पूर्णांकों $(1, 2, ....., 11)$ के एक यादृच्छिक क्रमचय (permutation) को दर्शाते हैं। तो,गुणनफल $(A - 1)(B - 2)(C - 3) ..... (K - 11)$ की प्रकृति क्या है?

मान लीजिए $S$ उन सभी सात-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है जिन्हें $0, 1$ और $2$ अंकों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए,$2210222$ समुच्चय $S$ में है,लेकिन $0210222$ समुच्चय $S$ में नहीं है। तो $S$ में ऐसे अवयवों $x$ की संख्या,जिनमें $0$ और $1$ अंकों में से कम से कम एक अंक ठीक दो बार आता है,वह $....$ के बराबर है।

$1000$ और $10000$ के बीच स्थित उन पूर्णांकों की संख्या क्या है जिनके अंकों का योग $30$ है?

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से,$4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके एक शेल्फ पर एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या है:

समीकरण $xyz = 90$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात कीजिए :-

$xyz = 60$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या क्या है?