माना समतल 2x + 3y + z + 20 = 0 को समतल x - 3y | vedclass

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Question

(A) समतल $2x + 3y + z + 20 = 0$ और $x - 3y + 5z - 8 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(2x + 3y + z + 20) + \lambda(x - 3y

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$\frac{a}{8} = \frac{b}{5} = \frac{c}{-4}$

Vedclass · Answer

(A) समतल $2x + 3y + z + 20 = 0$ और $x - 3y + 5z - 8 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(2x + 3y + z + 20) + \lambda(x - 3y + 5z - 8) = 0$ है,जो $(2 + \lambda)x + (3 - 3\lambda)y + (1 + 5\lambda)z + (20 - 8\lambda) = 0$ के रूप में सरल होता है।चूंकि समतल को समकोण पर घुमाया गया है,नया समतल मूल समतल $2x + 3y + z + 20 = 0$ के लंबवत है। अतः,उनके अभिलंबों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:$2(2 + \lambda) + 3(3 - 3\lambda) + 1(1 + 5\lambda) = 0$$4 + 2\lambda + 9 - 9\lambda + 1 + 5\lambda = 0$$14 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 7$.$\lambda = 7$ रखने पर,हमें नया समतल $x - 2y + 4z - 4 = 0$ प्राप्त होता है।बिंदु $A(2, -1/2, 2)$ का समतल $x - 2y + 4z - 4 = 0$ में दर्पण प्रतिबिंब $B(a, b, c)$ निकालने के लिए सूत्र: $\frac{a - 2}{1} = \frac{b + 1/2}{-2} = \frac{c - 2}{4} = -2 \frac{2 - 2(-1/2) + 4(2) - 4}{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = -2/3$.अतः $a = 4/3, b = 5/6, c = -2/3$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$B = (8/6, 5/6, -4/6)$ होने के कारण $\frac{a}{8} = \frac{b}{5} = \frac{c}{-4}$ सही है।

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बिंदु $(3, 8, 2)$ की रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 2}{3}$ से समतल $3x + 2y - 2z = 0$ के समांतर मापी गई दूरी क्या है?

रेखा $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ और समतल $x + 2y + 3z = 6$ के बीच का कोण $\cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{2}$ और समतल $2x-y+\sqrt{\lambda}z+4=0$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है कि $\sin \theta=\frac{1}{3}$,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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