मान लीजिए कि सीधी रेखा y=2x एक वृत्त को (0, a | vedclass

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Question

(C) वृत्त का केंद्र $P(0, \alpha)$ और त्रिज्या $r$ है। रेखा $2x - y = 0$ बिंदु $A_1$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।केंद्र $(0, \alpha)$ से रेखा $2x - y =

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$(P) \rightarrow (4), (Q) \rightarrow (2), (R) \rightarrow (5), (S) \rightarrow (3)$

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(C) वृत्त का केंद्र $P(0, \alpha)$ और त्रिज्या $r$ है। रेखा $2x - y = 0$ बिंदु $A_1$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।केंद्र $(0, \alpha)$ से रेखा $2x - y = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है:$\frac{|2(0) - \alpha|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = r \implies \frac{|-\alpha|}{\sqrt{5}} = r \implies \alpha = r\sqrt{5}$.दिया गया है कि $\alpha + r = 5 + \sqrt{5}$,इसलिए $\alpha = r\sqrt{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:$r\sqrt{5} + r = 5 + \sqrt{5} \implies r(\sqrt{5} + 1) = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1) \implies r = \sqrt{5}$.अतः $\alpha = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$. इस प्रकार,केंद्र $P(0, 5)$ है।बिंदु $A_1$,$P(0, 5)$ से रेखा $2x - y = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है:$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 5}{-1} = -\frac{2(0) - 5}{2^2 + (-1)^2} = \frac{5}{5} = 1$.$x = 2(1) = 2$ और $y - 5 = -1 \implies y = 4$. अतः,$A_1 = (2, 4)$.चूंकि $A_1 B_1$ एक व्यास है,केंद्र $P(0, 5)$ $A_1 B_1$ का मध्य बिंदु है। मान लीजिए $B_1 = (x_1, y_1)$:$\frac{x_1 + 2}{2} = 0 \implies x_1 = -2$.$\frac{y_1 + 4}{2} = 5 \implies y_1 + 4 = 10 \implies y_1 = 6$.अतः,$B_1 = (-2, 6)$.परिणामों का मिलान करने पर:$(P) \alpha = 5 \rightarrow (4)$$(Q) r = \sqrt{5} \rightarrow (2)$$(R) A_1 = (2, 4) \rightarrow (5)$$(S) B_1 = (-2, 6) \rightarrow (3)$इसलिए,सही विकल्प $(P) \rightarrow (4), (Q) \rightarrow (2), (R) \rightarrow (5), (S) \rightarrow (3)$ है।

$List-I$	$List-II$
$(P) \alpha \text{ बराबर है}$	$(1) (-2,4)$
$(Q) r \text{ बराबर है}$	$(2) \sqrt{5}$
$(R) A_1 \text{ बराबर है}$	$(3) (-2,6)$
$(S) B_1 \text{ बराबर है}$	$(4) 5$
	$(5) (2,4)$

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