समीकरणों की प्रणाली int_{a}^{b} x^{3} dx = 0 | vedclass

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Question

(B) दी गई समीकरण प्रणाली:$1$) $\int_{a}^{b} x^{3} dx = 0$$2$) $\int_{a}^{b} x^{2} dx = \frac{2}{3}$प्रथम समीकरण को हल करने पर:$\left[\frac{x^{4}}{4}\r

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$1$

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(B) दी गई समीकरण प्रणाली:$1$) $\int_{a}^{b} x^{3} dx = 0$$2$) $\int_{a}^{b} x^{2} dx = \frac{2}{3}$प्रथम समीकरण को हल करने पर:$\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{a}^{b} = 0 \Rightarrow \frac{b^{4}-a^{4}}{4} = 0 \Rightarrow b^{4} = a^{4}$इसका अर्थ है कि $b = a$ या $b = -a$.स्थिति $1$: यदि $b = a$ है,तो $\int_{a}^{a} x^{2} dx = 0$,जो $\int_{a}^{b} x^{2} dx = \frac{2}{3}$ के साथ विरोधाभास करता है।स्थिति $2$: यदि $b = -a$ है,तो दूसरे समीकरण में मान रखने पर:$\int_{a}^{-a} x^{2} dx = \frac{2}{3}$$\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{a}^{-a} = \frac{2}{3}$$\frac{(-a)^{3} - a^{3}}{3} = \frac{2}{3}$$\frac{-a^{3} - a^{3}}{3} = \frac{2}{3}$$-2a^{3} = 2 \Rightarrow a^{3} = -1 \Rightarrow a = -1$चूंकि $b = -a$,इसलिए $b = 1$.अतः,केवल एक क्रमित युग्म $(a, b) = (-1, 1)$ है जो इस प्रणाली को संतुष्ट करता है।

समीकरणों की प्रणाली $\int_{a}^{b} x^{3} dx = 0$ और $\int_{a}^{b} x^{2} dx = \frac{2}{3}$ को एक साथ संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्मों $(a, b)$ की संख्या क्या है?

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