$r$ त्रिज्या वाले गोले और उसके केंद्र पर स्थित $q$ आवेश से जुड़े फ्लक्स से गॉस का नियम प्राप्त कीजिए।

(N/A) मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या का एक गोला है,जिसके केंद्र पर एक बिंदु आवेश $q$ स्थित है।
चित्र में दिखाए अनुसार गोले को छोटे क्षेत्रफल अवयवों में विभाजित करें।
क्षेत्रफल अवयव $\Delta \overrightarrow{S}$ से गुजरने वाला फ्लक्स है,
$\Delta \phi = \overrightarrow{E} \cdot \Delta \overrightarrow{S} = E \Delta S \cos(0^{\circ}) = E \Delta S$
$r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र के लिए कूलम्ब के नियम का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
चूंकि विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\Delta \overrightarrow{S}$ एक ही दिशा (त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर) में हैं,
$\Delta \phi = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \right) \Delta S$
गोले से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi$ सभी क्षेत्रफल अवयवों से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है:
$\phi = \sum \Delta \phi = \sum \left( \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \Delta S \right)$
$\phi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \sum \Delta S$
चूंकि $\sum \Delta S = S = 4 \pi r^{2}$ (गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) है,
$\phi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
यह बिंदु आवेश के लिए गॉस का नियम है,जो बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और $\varepsilon_{0}$ के अनुपात के बराबर होता है।