अंतराल $[0, 1]$ पर,फलन $f(x) = {x^{25}}{(1 - x)^{75}}$ अपना अधिकतम मान किस बिंदु पर प्राप्त करता है?

$20 \ m$ लंबाई के एक तार को दो टुकड़ों में काटा जाता है। $\ell_1$ लंबाई के टुकड़े को मोड़कर $A_1$ क्षेत्रफल का एक वर्ग बनाया जाता है और $\ell_2$ लंबाई के दूसरे टुकड़े से $A_2$ क्षेत्रफल का एक वृत्त बनाया जाता है। यदि $2A_1 + 3A_2$ न्यूनतम है,तो $(\pi \ell_1) : \ell_2$ का मान क्या होगा?

यदि फलन $f(x) = 1 + a^2x - x^3$ का निम्निष्ठ बिंदु असमिका $\frac{x^2 + x + 2}{x^2 + 5x + 6} < 0$ को संतुष्ट करता है,तो $'a'$ किस अंतराल में स्थित होना चाहिए?

$a \in R$ का वह परिसर जिसके लिए फलन $f(x)=(4 a-3)\left(x+\log _{e} 5\right)+2(a-7) \cot \left(\frac{x}{2}\right) \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)$,जहाँ $x \neq 2 n \pi, n \in N$,के क्रांतिक बिंदु हैं,है

यदि $y = a \log x + b x^2 + x$ के चरम मान $x = -1$ और $x = 2$ पर हैं,तो $\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)$ का मान क्या है?

${x^2} + \frac{1}{1 + {x^2}}$ का न्यूनतम मान $x=$ .......... पर है।