બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર,નીચેનામાંથી કઈ ક્રિયા $*$ એ દ્વિ-આધારિત ક્રિયા (binary operation) છે?

ધારો કે $A = N \times N$ અને $^*$ એ $A$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. નક્કી કરો કે શું આ ક્રિયા $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે,જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે અને શું તેમાં તટસ્થ ઘટક (identity element) અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

$Q^{+}$ ના તમામ ધન સંમેય સંખ્યાઓના સમૂહમાં દ્વિ-ક્રિયા $*$ જે $a * b = \frac{ab}{2010}, \forall a, b \in Q^{+}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તેમાં $2010$ નો વ્યસ્ત શોધો.

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યાઓ પૈકી કઈ દ્રીક ક્રિયા (binary operation) છે તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્રીક ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $Z^+$ પર,$*$ ને $a * b = |a - b|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યા દ્વિ-ક્રિયા (binary operation) છે કે નહીં તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્વિ-ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $R$ પર,$*$ ને $a * b = ab^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.

ધન સંમેય સંખ્યાઓના ગણ પર,દ્વિતીય પ્રક્રિયા $*$ એ $a * b = \frac{2ab}{5}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. જો $2 * x = 3^{-1}$ હોય,તો $x = $