સાબિત કરો કે $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ $a$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $a = 2k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમત $a^2 = 2b^2$ માં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $4k^2 = 2b^2$ અથવા $b^2 = 2k^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $b$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ બંને $2$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $2$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.