सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

(N/A) माना $ABCD$ एक वर्ग है। हमें सिद्ध करना है कि $AC = BD$,$OA = OC$,$OB = OD$ और $\angle AOB = 90^{\circ}$ है।
$1$. विकर्ण बराबर हैं यह सिद्ध करने के लिए: $\triangle ABC$ और $\triangle BAD$ लें। इन त्रिभुजों में,$AB = BA$ (उभयनिष्ठ भुजा),$BC = AD$ (वर्ग की भुजाएँ),और $\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$ है। $SAS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\triangle ABC \cong \triangle BAD$ है। अतः,$AC = BD$ $(CPCT)$ है।
$2$. विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं यह सिद्ध करने के लिए: $\triangle OAB$ और $\triangle OCD$ लें। यहाँ,$\angle OAB = \angle OCD$ (एकांतर अंतःकोण),$\angle OBA = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण),और $AB = CD$ (वर्ग की भुजाएँ) हैं। $ASA$ सर्वांगसमता द्वारा,$\triangle OAB \cong \triangle OCD$ है। अतः,$OA = OC$ और $OB = OD$ $(CPCT)$ है।
$3$. विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं यह सिद्ध करने के लिए: $\triangle OAB$ और $\triangle OCB$ लें। यहाँ,$OA = OC$ (ऊपर सिद्ध किया गया),$AB = CB$ (वर्ग की भुजाएँ),और $OB = OB$ (उभयनिष्ठ भुजा) हैं। $SSS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\triangle OAB \cong \triangle OCB$ है। अतः,$\angle AOB = \angle COB$ $(CPCT)$ है। चूँकि $\angle AOB + \angle COB = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म),$2 \angle AOB = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है।