ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $n(n^{2}+5)$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) ધારો કે $P(n): n(n^{2}+5)$ એ દરેક $n \in N$ માટે $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$P(1) = 1(1^{2}+5) = 6$,જે $6$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $k(k^{2}+5) = 6m$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે. $(i)$
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $(k+1)((k+1)^{2}+5)$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
$(k+1)((k+1)^{2}+5) = (k+1)(k^{2}+2k+6) = k(k^{2}+5) + 3k^{2} + 3k + 6$
$= 6m + 3k(k+1) + 6$
$k(k+1)$ એ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હોવાથી તે હંમેશા બેકી સંખ્યા હોય છે,એટલે કે $k(k+1) = 2p$.
$= 6m + 3(2p) + 6 = 6(m+p+1)$,જે $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P(n)$ એ દરેક $n \in N$ માટે સત્ય છે.