सिद्ध कीजिए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन किसी पूर्णांक $m$ के लिए $4m, 4m+1$ या $4m+3$ के रूप का होता है।

(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$a$ और $b=4$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = 4q + r$,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$a^3 = (4q + r)^3 = 64q^3 + 3(4q)^2r + 3(4q)r^2 + r^3$
$a^3 = 64q^3 + 48q^2r + 12qr^2 + r^3$
$a^3 = 4(16q^3 + 12q^2r + 3qr^2) + r^3$ ... $(i)$
स्थिति $I$: यदि $r = 0$,तो $a^3 = 4(16q^3) = 4m$,जहाँ $m = 16q^3$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2 + 3q) + 1^3 = 4m + 1$,जहाँ $m = 16q^3 + 12q^2 + 3q$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(2) + 3q(2^2)) + 2^3 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q) + 8 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q + 2) = 4m$,जहाँ $m = 16q^3 + 24q^2 + 12q + 2$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(3) + 3q(3^2)) + 3^3 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q) + 27 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q + 6) + 3 = 4m + 3$,जहाँ $m = 16q^3 + 36q^2 + 27q + 6$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $4m, 4m+1$ या $4m+3$ के रूप का होता है।