દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$ સમપરિમાણીય છે અને તેને ઉકેલો.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{d y}{d x}=\frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ ............$(1)$
આ $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ સ્વરૂપનું વિકલ સમીકરણ છે.
અહીં $F(x, y) = \frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right) + x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
$x$ ને $\lambda x$ અને $y$ ને $\lambda y$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right) + \lambda x}{\lambda x \cos \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)} = \frac{\lambda [y \cos (y/x) + x]}{\lambda [x \cos (y/x)]} = \lambda^0 F(x, y)$.
જેથી $F(x, y)$ એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે,તેથી આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.
તેને ઉકેલવા માટે,$y = vx$ આદેશ લેતા,જેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \cos v + x}{x \cos v} = \frac{v \cos v + 1}{\cos v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + 1}{\cos v} - v = \frac{1}{\cos v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\cos v \, dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\sin v = \log |x| + C$.
$v = y/x$ મૂકતા,વ્યાપક ઉકેલ $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$ મળે છે.