સાબિત કરો કે તમામ ત્રિકોણોના ગણ $A$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R = \{(T_{1}, T_{2}) : T_{1} \text{ એ } T_{2} \text{ ને સમરૂપ છે}\}$ એ સામ્ય સંબંધ છે. ત્રણ કાટકોણ ત્રિકોણો ધ્યાનમાં લો: $T_{1}$ (બાજુઓ $3, 4, 5$),$T_{2}$ (બાજુઓ $5, 12, 13$) અને $T_{3}$ (બાજુઓ $6, 8, 10$). $T_{1}, T_{2}$ અને $T_{3}$ માંથી કયા ત્રિકોણો સંબંધિત છે?

(A) સંબંધ $R = \{(T_{1}, T_{2}) : T_{1} \text{ એ } T_{2} \text{ ને સમરૂપ છે}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: દરેક ત્રિકોણ $T_{1}$ પોતાની જાતને સમરૂપ હોય છે. તેથી,$(T_{1}, T_{1}) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(T_{1}, T_{2}) \in R$,તો $T_{1}$ એ $T_{2}$ ને સમરૂપ છે. આનો અર્થ એ છે કે $T_{2}$ એ $T_{1}$ ને સમરૂપ છે. તેથી,$(T_{2}, T_{1}) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(T_{1}, T_{2}) \in R$ અને $(T_{2}, T_{3}) \in R$,તો $T_{1}$ એ $T_{2}$ ને સમરૂપ છે અને $T_{2}$ એ $T_{3}$ ને સમરૂપ છે. આનો અર્થ એ છે કે $T_{1}$ એ $T_{3}$ ને સમરૂપ છે. તેથી,$(T_{1}, T_{3}) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
ત્રિકોણો માટે:
$T_{1}$ (બાજુઓ $3, 4, 5$) અને $T_{3}$ (બાજુઓ $6, 8, 10$) માટે:
$\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$T_{1}$ એ $T_{3}$ ને સમરૂપ છે.
તેથી,$T_{1}$ અને $T_{3}$ સંબંધિત છે.