दर्शाइए कि किसी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $q$ के लिए $6q + 1$ या $6q + 3$ के रूप का होता है।

(N/A) हम जानते हैं कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक को किसी पूर्णांक $m$ के लिए $6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4$ या $6m + 5$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
एक विषम धनात्मक पूर्णांक $6m + 1, 6m + 3$ या $6m + 5$ के रूप में होता है।
अब,हम इन रूपों का वर्ग करते हैं:
$1.$ $(6m + 1)^2 = 36m^2 + 12m + 1 = 6(6m^2 + 2m) + 1 = 6q + 1$,जहाँ $q = 6m^2 + 2m$ एक पूर्णांक है।
$2.$ $(6m + 3)^2 = 36m^2 + 36m + 9 = 36m^2 + 36m + 6 + 3 = 6(6m^2 + 6m + 1) + 3 = 6q + 3$,जहाँ $q = 6m^2 + 6m + 1$ एक पूर्णांक है।
$3.$ $(6m + 5)^2 = 36m^2 + 60m + 25 = 36m^2 + 60m + 24 + 1 = 6(6m^2 + 10m + 4) + 1 = 6q + 1$,जहाँ $q = 6m^2 + 10m + 4$ एक पूर्णांक है।
अतः,किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $6q + 1$ या $6q + 3$ के रूप का होता है।