निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए: $x+y=5xy$ और $3x+2y=13xy$.

एक मोटर बोट $30 \, km$ धारा के प्रतिकूल और $28 \, km$ धारा के अनुकूल $7 \, \text{घंटे}$ में यात्रा कर सकती है। यह $21 \, km$ धारा के प्रतिकूल और वापस आने में $5 \, \text{घंटे}$ लेती है। स्थिर जल में नाव की गति और धारा की गति ज्ञात कीजिए (in $km/h$).

पथिक अपने घर जाने के लिए $600 \, km$ की दूरी आंशिक रूप से ट्रेन द्वारा और आंशिक रूप से कार द्वारा तय करता है। यदि वह $120 \, km$ ट्रेन से और शेष दूरी कार से तय करता है,तो उसे $8$ घंटे लगते हैं। यदि वह $200 \, km$ ट्रेन से और शेष दूरी कार से तय करता है,तो उसे $20$ मिनट अधिक लगते हैं। ट्रेन और कार की गति ज्ञात कीजिए।

वज्र-गुणन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरण युग्म का हल ज्ञात कीजिए: $ax + by = 1$ और $bx + ay = \frac{2ab}{a^2 + b^2}$.

विलोपन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म का हल ज्ञात कीजिए: $2x + y = 4$ और $x + 3y = 7$.

एक प्रतियोगी परीक्षा में,प्रत्येक सही उत्तर के लिए एक अंक दिया जाता है जबकि प्रत्येक गलत उत्तर के लिए $\frac{1}{2}$ अंक काट लिया जाता है। जयंती ने $120$ प्रश्नों के उत्तर दिए और $90$ अंक प्राप्त किए। उसने कितने प्रश्नों के सही उत्तर दिए?