मान लीजिए f(x) = e^{ax} + e^{bx}, जहाँ a neq | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = e^{ax} + e^{bx}.$अतः $f'(x) = ae^{ax} + be^{bx}$ और $f''(x) = a^2e^{ax} + b^2e^{bx}.$इन मानों को अवकल समीकरण $f''(x) - 2f'(x)

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$-15$

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(C) दिया गया है $f(x) = e^{ax} + e^{bx}.$अतः $f'(x) = ae^{ax} + be^{bx}$ और $f''(x) = a^2e^{ax} + b^2e^{bx}.$इन मानों को अवकल समीकरण $f''(x) - 2f'(x) - 15f(x) = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(a^2e^{ax} + b^2e^{bx}) - 2(ae^{ax} + be^{bx}) - 15(e^{ax} + e^{bx}) = 0.$$e^{ax}$ और $e^{bx}$ वाले पदों को समूहित करने पर,$(a^2 - 2a - 15)e^{ax} + (b^2 - 2b - 15)e^{bx} = 0.$चूंकि $e^{ax}$ और $e^{bx}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र फलन हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:$a^2 - 2a - 15 = 0$ और $b^2 - 2b - 15 = 0.$द्विघात समीकरण $t^2 - 2t - 15 = 0$ को हल करने पर,$(t - 5)(t + 3) = 0,$जिससे $t = 5$ या $t = -3$ प्राप्त होता है।चूंकि $a 
eq b,$ इसलिए $a = 5$ और $b = -3$ (या इसके विपरीत) होगा।अतः,गुणनफल $ab = 5 	imes (-3) = -15.$

मान लीजिए $f(x) = e^{ax} + e^{bx},$ जहाँ $a \neq b,$ और सभी $x$ के लिए $f''(x) - 2f'(x) - 15f(x) = 0$ है। तो गुणनफल $ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

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