ધારો કે $HIV$ ટેસ્ટની વિશ્વસનીયતા નીચે મુજબ છે: $HIV$ ધરાવતા લોકોમાંથી,$90\%$ ટેસ્ટ રોગને શોધી કાઢે છે પરંતુ $10\%$ શોધી શકાતા નથી. $HIV$ મુક્ત લોકોમાંથી,$99\%$ ટેસ્ટ $HIV$ નેગેટિવ તરીકે ઓળખાય છે પરંતુ $1\%$ $HIV$ પોઝિટિવ તરીકે નિદાન થાય છે. એક મોટી વસ્તીમાંથી જેમાં માત્ર $0.1\%$ લોકો $HIV$ ધરાવે છે,એક વ્યક્તિને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,$HIV$ ટેસ્ટ આપવામાં આવે છે,અને પેથોલોજીસ્ટ તેને $HIV$ પોઝિટિવ તરીકે રિપોર્ટ કરે છે. વ્યક્તિને ખરેખર $HIV$ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે આપણી પાસે ચાર બોક્સ $A, B, C$ અને $D$ છે જેમાં નીચે મુજબ રંગીન લખોટીઓ છે:

બોક્સ	લાલ	સફેદ	કાળી
$A$	$1$	$6$	$3$
$B$	$6$	$2$	$2$
$C$	$8$	$1$	$1$
$D$	$0$	$6$	$4$

એક બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક લખોટી કાઢવામાં આવે છે. જો લખોટી લાલ હોય,તો તે બોક્સ $A$,બોક્સ $B$ અથવા બોક્સ $C$ માંથી કાઢવામાં આવી હોય તેની સંભાવના કેટલી?

એક પરીક્ષામાં $4$ હા/ના પ્રકારના પ્રશ્નો છે. વિદ્યાર્થી દ્વારા અનુમાન લગાવ્યા વગર પ્રશ્નનો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $2/3$ છે. વિદ્યાર્થી દ્વારા અનુમાન લગાવીને સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $1/2$ છે. વિદ્યાર્થી કાં તો $4$ પ્રશ્નોના જવાબ અનુમાન લગાવ્યા વગર આપે છે અથવા $4$ પ્રશ્નોના જવાબ અનુમાન લગાવીને આપે છે. તેના દ્વારા બધા પ્રશ્નોના જવાબ અનુમાન લગાવીને આપવાની સંભાવના $3/7$ છે. જો વિદ્યાર્થીએ ઓછામાં ઓછા $3$ પ્રશ્નોના સાચા જવાબ આપ્યા હોય, તો તેણે અનુમાન લગાવ્યા વગર બધા પ્રશ્નોના જવાબ આપ્યા હોય તેની સંભાવના કેટલી?

એક ચોક્કસ વિસ્તારમાં લોકોના સર્વેક્ષણ પરથી જાણવા મળ્યું કે $20 \%$ લોકો ધૂમ્રપાન કરનારા હતા. જો કોઈ વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન કરે તો ફેફસાના કેન્સરથી મૃત્યુ થવાની સંભાવના, વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન ન કરે તે સ્થિતિમાં ફેફસાના કેન્સરથી મૃત્યુ થવાની સંભાવના કરતા $10$ ગણી હતી. જો તે વિસ્તારમાં ફેફસાના કેન્સરથી મૃત્યુ થવાની સંભાવના $0.006$ હોય, તો વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન કરનાર હોય ત્યારે ફેફસાના કેન્સરથી મૃત્યુ થવાની સંભાવના કેટલી?

$A$ અને $B$ એ એક યાદચ્છિક પ્રયોગની બે ઘટનાઓ છે જેથી $P(B)=0.4$, $P(A \cap \bar{B})=0.5$, અને $P(A \cup B) + P\left(\frac{B}{A \cup \bar{B}}\right) = 1.15$. તો $P(A) = $

$3$ બોક્સની સામગ્રી નીચે મુજબ છે. જો એક બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે અને તેમાંથી ત્રણ દડા કાઢવામાં આવે અને તે ત્રણેય અલગ-અલગ રંગના હોય,તો તે બોક્સ $2$ માંથી આવ્યા હોય તેની સંભાવના શોધો.
બોક્સ $1$ માં $1$ કાળો,$2$ સફેદ,$3$ લાલ દડા છે.
બોક્સ $2$ માં $1$ કાળો,$1$ સફેદ,$2$ લાલ દડા છે.
બોક્સ $3$ માં $5$ કાળા,$4$ સફેદ,$1$ લાલ દડા છે.