वक्रों y = x(x - 3)^2 और y = x द्वारा घिरा हु | vedclass

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Question

(D) वक्रों $y = x(x - 3)^2$ और $y = x$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$x(x - 3)^2 = x$ रखकर।

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$8$

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(D) वक्रों $y = x(x - 3)^2$ और $y = x$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$x(x - 3)^2 = x$ रखकर।$x((x - 3)^2 - 1) = 0$$x(x^2 - 6x + 9 - 1) = 0$$x(x^2 - 6x + 8) = 0$$x(x - 2)(x - 4) = 0$प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0, 2, 4$ हैं।क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:$A = \int_{0}^{2} |x(x - 3)^2 - x| dx + \int_{2}^{4} |x - x(x - 3)^2| dx$$x \in [0, 2]$ के लिए,$x(x - 3)^2 \ge x$,इसलिए समाकलन $\int_{0}^{2} (x^3 - 6x^2 + 8x) dx$ है।$= [\frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2]_{0}^{2} = (\frac{16}{4} - 2(8) + 4(4)) - 0 = 4 - 16 + 16 = 4$.$x \in [2, 4]$ के लिए,$x \ge x(x - 3)^2$,इसलिए समाकलन $\int_{2}^{4} (x - (x^3 - 6x^2 + 9x)) dx = \int_{2}^{4} (-x^3 + 6x^2 - 8x) dx$ है।$= [-\frac{x^4}{4} + 2x^3 - 4x^2]_{2}^{4} = (-64 + 128 - 64) - (-4 + 16 - 16) = 0 - (-4) = 4$.कुल क्षेत्रफल $= 4 + 4 = 8 	ext{ वर्ग इकाइयाँ}$।

वक्रों $y = x(x - 3)^2$ और $y = x$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है:

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