r त्रिज्या और m द्रव्यमान की एक डिस्क का केंद | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि डिस्क को संतुलन स्थिति से $	heta$ कोण पर विस्थापित किया जाता है। चाप के अनुदिश डिस्क के केंद्र का विस्थापन $x = (R-r)	heta$ है।निका

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{\frac{2}{3}\left(\frac{g}{R-r}+\frac{k}{m}\right)}$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए कि डिस्क को संतुलन स्थिति से $	heta$ कोण पर विस्थापित किया जाता है। चाप के अनुदिश डिस्क के केंद्र का विस्थापन $x = (R-r)	heta$ है।निकाय की कुल ऊर्जा $E$,स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा,डिस्क की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा और डिस्क की गतिज ऊर्जा (स्थानांतरणीय + घूर्णन) का योग है।$E = \frac{1}{2} k x^2 + mg(R-r)(1 - \cos 	heta) + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega_{rot}^2$यहाँ $x = (R-r)	heta$,$v = (R-r)\dot{	heta}$,और बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega_{rot} = \frac{v}{r} = \frac{(R-r)\dot{	heta}}{r}$। अपने केंद्र के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ है।$E = \frac{1}{2} k (R-r)^2 	heta^2 + mg(R-r) \frac{	heta^2}{2} + \frac{1}{2} m (R-r)^2 \dot{	heta}^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2}mr^2) (\frac{(R-r)\dot{	heta}}{r})^2$$E = \frac{1}{2} [k(R-r)^2 + mg(R-r)] 	heta^2 + \frac{1}{2} [m(R-r)^2 + \frac{1}{2}m(R-r)^2] \dot{	heta}^2$$E = \frac{1}{2} [k(R-r)^2 + mg(R-r)] 	heta^2 + \frac{3}{4} m(R-r)^2 \dot{	heta}^2$चूंकि कुल ऊर्जा संरक्षित है,$\frac{dE}{dt} = 0$:$[k(R-r)^2 + mg(R-r)] 	heta \dot{	heta} + \frac{3}{2} m(R-r)^2 \dot{	heta} \ddot{	heta} = 0$$\dot{	heta}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\dot{	heta} 
eq 0$):$\ddot{	heta} + \frac{k(R-r)^2 + mg(R-r)}{\frac{3}{2} m(R-r)^2} 	heta = 0$$\ddot{	heta} + \frac{2}{3} [\frac{k}{m} + \frac{g}{R-r}] 	heta = 0$$SHM$ के मानक समीकरण $\ddot{	heta} + \omega^2 	heta = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\omega = \sqrt{\frac{2}{3} [\frac{k}{m} + \frac{g}{R-r}]}$अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

List-$I$	List-$II$
$A$. वेग अधिकतम है	$I$. त्वरण अधिकतम है
$B$. $K.E.$ कुल ऊर्जा का $\left(\frac{3}{4}\right)^{\text{th}}$ है	$II$. माध्य स्थिति पर
$C$. $P.E.$ कुल ऊर्जा का $\left(\frac{3}{4}\right)^{\text{th}}$ है	$III$. आयाम के आधे पर
$D$. त्वरण अधिकतम है	$IV$. आयाम के $\frac{\sqrt{3}}{2}$ गुना पर

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