गुणनफल (1-x)(1-2x)(1-2^2x)(1-2^3x) ldots (1-2 | vedclass

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Question

(C) माना $P(x) = \prod_{k=0}^{15} (1-2^k x)$.हमें इस गुणनफल में $x^{15}$ का गुणांक ज्ञात करना है.यह $q$-द्विपद प्रमेय से संबंधित एक ज्ञात पहचान है,जहा

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$2^{105}-2^{121}$

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(C) माना $P(x) = \prod_{k=0}^{15} (1-2^k x)$.हमें इस गुणनफल में $x^{15}$ का गुणांक ज्ञात करना है.यह $q$-द्विपद प्रमेय से संबंधित एक ज्ञात पहचान है,जहाँ $\prod_{k=0}^{n-1} (1-q^k x)$ में $x^n$ का गुणांक $(-1)^n q^{n(n-1)/2}$ होता है.यहाँ,$n=15$ और $q=2$ है.गुणनफल $\prod_{k=0}^{15} (1-2^k x) = (1-x)(1-2x)(1-4x)\ldots(1-2^{15}x)$ है.$x^{15}$ का गुणांक $(-1)^{15} \sum_{j=0}^{15} \frac{\prod_{k=0}^{15} 2^k}{2^j} = -2^{120} \sum_{j=0}^{15} 2^{-j} = -2^{120} (2 - 2^{-15}) = 2^{105} - 2^{121}$ होता है.

गुणनफल $(1-x)(1-2x)(1-2^2x)(1-2^3x) \ldots (1-2^{15}x)$ में $x^{15}$ का गुणांक क्या है?

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