sin ^{-1}left(frac{sqrt{1+x}+sqrt{1-x}}{2}rig | vedclass

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Question

(A) माना $y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}ight)$ और $u = \cos ^{-1} x$ है। $x = \cos 	heta$ रखें,जहाँ $	heta = \cos ^{-1} x$ है

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}ight)$ और $u = \cos ^{-1} x$ है। $x = \cos 	heta$ रखें,जहाँ $	heta = \cos ^{-1} x$ है। तब,$\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2} = \frac{\sqrt{1+\cos 	heta}+\sqrt{1-\cos 	heta}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cos ^{2} \frac{	heta}{2}}+\sqrt{2 \sin ^{2} \frac{	heta}{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cos \frac{	heta}{2} + \sqrt{2} \sin \frac{	heta}{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{	heta}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{	heta}{2}$ है। $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{	heta}{2} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{	heta}{2} = \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{	heta}{2}ight)$ प्राप्त होता है। अतः,$y = \sin ^{-1} \left(\sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{	heta}{2}ight)ight) = \frac{\pi}{4} + \frac{	heta}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} u$ है। अब,$y$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} uight) = \frac{1}{2}$।

$\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}\right)$ का $\cos ^{-1} x$ के सापेक्ष अवकलज क्या है?

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$y = \tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}} \right]$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन क्या है?

$x = \frac{1}{2}$ पर $\sqrt {1 - {x^2}} $ के सापेक्ष ${\sec ^{ - 1}}\left( \frac{1}{{2{x^2} - 1}} \right)$ का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।

यदि $u=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\right)$ और $v=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x \sqrt{1-x^{2}}}{1-2 x^{2}}\right)$ है,तो $x=0$ पर $\frac{d u}{d v}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sqrt {1 - {x^2}} + \sqrt {1 - {y^2}} = a(x - y)$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $

$\frac{d}{dx} \left[ \sin^2 \cot^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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