बिंदु $(-1, -5, -10)$ की रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12}$ और समतल $x - y + z = 5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

एक बिंदु $P(\lambda, \lambda, \lambda)$ से,रेखाओं $y=x, z=1$ और $y=-x, z=-1$ पर क्रमशः लंब $PQ$ और $PR$ खींचे गए हैं। यदि $P$ इस प्रकार है कि $\angle QPR$ एक समकोण है,तो $\lambda$ का संभावित मान (मानों) है

$z$-अक्ष और रेखा $x + y + 2z - 3 = 0 = 2x + 3y + 4z - 4$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

समतलों $x+y+z=1$ और $2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और $x$-अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P(3,4,4)$ की बिंदुओं $Q(3,-4,-5)$ और $R(2,-3,1)$ को जोड़ने वाली रेखा और समतल $2x+y+z=7$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी क्या है ($\text{इकाई}$ में)?

मान लीजिए $P$ समतल $\sqrt{3} x+2 y+3 z=16$ है और $S=\left\{\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}: \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 \text{ और } (\alpha, \beta, \gamma) \text{ की समतल } P \text{ से दूरी } \frac{7}{2} \text{ है}\right\}$ है। मान लीजिए $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ समुच्चय $S$ में तीन भिन्न सदिश हैं जैसे कि $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{w}-\overrightarrow{u}|$। मान लीजिए $V$ सदिशों $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन है। तो $\frac{80}{\sqrt{3}} V$ का मान ज्ञात कीजिए।