रेखाओं x=0, y=0 और 3x+4y-24=0 द्वारा निर्मित | vedclass

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Question

(C) रेखाएँ $x=0$ और $y=0$ रेखा $3x+4y-24=0$ के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।माना अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है और

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$x^2+y^2-4x-4y+4=0$

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(C) रेखाएँ $x=0$ और $y=0$ रेखा $3x+4y-24=0$ के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।माना अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(r, r)$ है।केंद्र $(r, r)$ से रेखा $3x+4y-24=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर: $\left|\frac{3r+4r-24}{\sqrt{3^2+4^2}}\right| = r$.$\left|\frac{7r-24}{5}\right| = r$.स्थिति $1$: $7r-24 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 24$ $\Rightarrow r = 12$.स्थिति $2$: $7r-24 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 24$ $\Rightarrow r = 2$.चूंकि अंतःवृत्त को त्रिभुज के भीतर होना चाहिए,इसलिए त्रिज्या $r=12$ संभव नहीं है। अतः $r=2$.वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2^2$ है।$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4$.$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$.अतः,सही विकल्प $C$ है।

रेखाओं $x=0, y=0$ और $3x+4y-24=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के अंतःवृत्त (incircle) का समीकरण क्या है?

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मान लीजिए कि वृत्त $x^2 + (y - 1)^2 = 9$ और $(x - 1)^2 + y^2 = 25$ हैं। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

बिंदु $(1,2)$ से वृत्तों $x^2+y^2+x+y-4=0$ और $3x^2+3y^2-x-y-k=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $4:3$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ से बिंदु $(6, 8)$ की न्यूनतम और अधिकतम दूरी ज्ञात कीजिए।

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