फलन f(x) = sin^4 x + cos^4 x वर्धमान है,यदि | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$. हम इसे $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि $\sin^2 x +

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$\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{8}$

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(B) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$. हम इसे $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए $f(x) = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$. सर्वसमिका $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$f(x) = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$. $\sin^2 heta = \frac{1 - \cos 2 heta}{2}$ का उपयोग करने पर,$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} ight) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$. फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए। $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x ight) = -\sin 4x$. $f'(x) > 0$ रखने पर,$-\sin 4x > 0$,जिसका अर्थ है $\sin 4x ज्या (sine) फलन अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में ऋणात्मक होता है। अतः,$\pi $4$ से भाग देने पर,$\frac{\pi}{4} दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{8}$ इस सीमा का एक उपसमुच्चय है,इसलिए फलन इस अंतराल में वर्धमान है।

फलन $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ वर्धमान है,यदि

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