अवकल समीकरण (2x - y + 1)dx + (2y - x + 1)dy = | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - y + 1)dx + (2y - x + 1)dy = 0$.इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x - y + 1}{2y - x + 1} = \frac{2x

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${x^2} + {y^2} - xy + x + y = c$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - y + 1)dx + (2y - x + 1)dy = 0$.इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x - y + 1}{2y - x + 1} = \frac{2x - y + 1}{x - 2y - 1}$ प्राप्त होता है।माना $x = X + h$ और $y = Y + k$। इन्हें प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{2X - Y + 2h - k + 1}{X - 2Y + h - 2k - 1}$ प्राप्त होता है।समीकरण को समघातीय बनाने के लिए,$2h - k + 1 = 0$ और $h - 2k - 1 = 0$ रखने पर,हल $h = -1$ और $k = -1$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{dY}{dX} = \frac{2X - Y}{X - 2Y}$।$Y = vX$ रखने पर,$\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$ होता है।$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{2 - v}{1 - 2v} \implies X\frac{dv}{dX} = \frac{2 - v}{1 - 2v} - v = \frac{2(v^2 - v + 1)}{1 - 2v}$।चरों को अलग करने पर: $\frac{dX}{X} = \frac{1 - 2v}{2(v^2 - v + 1)} dv$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dX}{X} = -\frac{1}{2} \int \frac{2v - 1}{v^2 - v + 1} dv$।$\ln|X| = -\frac{1}{2} \ln|v^2 - v + 1| + \ln|c_1| \implies X^2(v^2 - v + 1) = c$।$v = \frac{Y}{X}$ रखने पर,$Y^2 - XY + X^2 = c$ प्राप्त होता है।$X = x + 1$ और $Y = y + 1$ रखने पर: $(y + 1)^2 - (y + 1)(x + 1) + (x + 1)^2 = c$।विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 - xy + x + y = c'$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $(2x - y + 1)dx + (2y - x + 1)dy = 0$ का व्यापक हल है

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