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Question

(A) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (7^{1/3})^{n-r} (11^{1/12})^{r} = {}^{n}C_{r} 7^{(n-r)/3} 11^{r/12}$ है।पद के पूर्णांक होने के लिए,घा

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$2184$

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(A) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (7^{1/3})^{n-r} (11^{1/12})^{r} = {}^{n}C_{r} 7^{(n-r)/3} 11^{r/12}$ है।पद के पूर्णांक होने के लिए,घातांक $\frac{n-r}{3}$ और $\frac{r}{12}$ दोनों पूर्णांक होने चाहिए।इसका अर्थ है कि $r$,$12$ का गुणज होना चाहिए,अतः $r \in \{0, 12, 24, \dots, 12k\}$।साथ ही,$n-r$,$3$ का गुणज होना चाहिए। चूँकि $r$,$12$ का गुणज है,यह $3$ का भी गुणज है,जिससे पता चलता है कि $n$ भी $3$ का गुणज होना चाहिए।यहाँ $183$ पूर्णांक पद हैं,इसलिए $r$ के मान $0, 12, 24, \dots, 12 	imes 182$ होंगे।$r$ का अधिकतम मान $12 	imes 182 = 2184$ है।चूँकि $r \le n$,$183$ पद प्राप्त करने के लिए $n$ का न्यूनतम मान $n = 2184$ है।

$n$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $(\sqrt[3]{7}+\sqrt[12]{11})^{n}$ के द्विपद विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या $183$ है:

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