1 और 10^{10} के बीच (समावेशी) ऐसे पूर्णांकों | vedclass

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Question

(A) हमें समुच्चय ${1, 2, 3, ....., 10^{10}}$ में उन पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम एक अंक $1$ हो।पूरक घटना की गणना करना आसान है: उ

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$10^{10}-9^{10}$

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(A) हमें समुच्चय ${1, 2, 3, ....., 10^{10}}$ में उन पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम एक अंक $1$ हो।पूरक घटना की गणना करना आसान है: उन पूर्णांकों की संख्या जिनमें अंक $1$ नहीं है।$0$ से $10^{10}-1$ तक की सभी संख्याओं पर विचार करें। इनमें से प्रत्येक को $10$ अंकों की स्ट्रिंग के रूप में दर्शाया जा सकता है (यदि आवश्यक हो तो आगे शून्य लगाकर) जिसमें अंकों ${0, 1, 2, ....., 9}$ का उपयोग किया गया हो।कुल $10^{10}$ ऐसी स्ट्रिंग्स हैं।जिन स्ट्रिंग्स में अंक $1$ नहीं है,उन्हें शेष $9$ अंकों ${0, 2, 3, ...., 9}$ में से प्रत्येक $10$ स्थान चुनकर बनाया जा सकता है।अतः,ऐसी $9^{10}$ स्ट्रिंग्स हैं।इनमें से एक स्ट्रिंग $0000000000$ है,जो संख्या $0$ के अनुरूप है। चूंकि हम $1$ और $10^{10}$ के बीच की संख्याएं ढूंढ रहे हैं,इसलिए हम $0$ को बाहर रखेंगे।अतः,$1$ और $10^{10}-1$ के बीच के ऐसे पूर्णांक जिनमें अंक $1$ नहीं है,उनकी संख्या $9^{10}-1$ है।$1$ और $10^{10}-1$ के बीच कुल पूर्णांकों की संख्या $10^{10}-1$ है।इसलिए,$1$ और $10^{10}-1$ के बीच के ऐसे पूर्णांक जिनमें कम से कम एक $1$ है,उनकी संख्या $(10^{10}-1) - (9^{10}-1) = 10^{10}-9^{10}$ है।अंत में,हम संख्या $10^{10}$ की जांच करते हैं। इसमें अंक $1$ नहीं है। अतः,कुल संख्या $10^{10}-9^{10}$ ही रहेगी।

$1$ और $10^{10}$ के बीच (समावेशी) ऐसे पूर्णांकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें अंक $1$ आता है:

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