बिंदुओं (2,1,5),(3,2,3) और (4,0,4) द्वारा निर | vedclass

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Question

(C) माना शीर्ष $A(2,1,5)$,$B(3,2,3)$ और $C(4,0,4)$ हैं।सबसे पहले,$A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें। $BC$ के दिक अनुपात $(4-3, 0-2,

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$(3,1,4)$

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(C) माना शीर्ष $A(2,1,5)$,$B(3,2,3)$ और $C(4,0,4)$ हैं।सबसे पहले,$A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें। $BC$ के दिक अनुपात $(4-3, 0-2, 4-3) = (1, -2, 1)$ हैं।माना $P$,$A$ से $BC$ पर लंब का पाद है। $P$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $P = (3+k, 2-2k, 3+k)$ किसी $k$ के लिए।सदिश $AP = (3+k-2, 2-2k-1, 3+k-5) = (k+1, 1-2k, k-2)$ है।चूँकि $AP \perp BC$,उनका अदिश गुणनफल $(k+1)(1) + (1-2k)(-2) + (k-2)(1) = 0$ होगा।$k+1 - 2 + 4k + k - 2 = 0 \Rightarrow 6k - 3 = 0 \Rightarrow k = 1/2$।अतः,$P = (3.5, 1, 3.5)$। सदिश $AP = (1.5, 0, -1.5)$,जो $(1, 0, -1)$ के समांतर है।शीर्षलंब $AP$ का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-5}{-1}$ है।अब,$B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें। $AC$ के दिक अनुपात $(4-2, 0-1, 4-5) = (2, -1, -1)$ हैं।माना $Q$,$B$ से $AC$ पर लंब का पाद है। $Q$,$AC$ पर स्थित है,इसलिए $Q = (2+2m, 1-m, 5-m)$ किसी $m$ के लिए।सदिश $BQ = (2+2m-3, 1-m-2, 5-m-3) = (2m-1, -m-1, 2-m)$ है।चूँकि $BQ \perp AC$,$(2m-1)(2) + (-m-1)(-1) + (2-m)(-1) = 0$ होगा।$4m - 2 + m + 1 - 2 + m = 0 \Rightarrow 6m - 3 = 0 \Rightarrow m = 1/2$।अतः,$Q = (3, 0.5, 4.5)$। सदिश $BQ = (0, -1.5, 1.5)$,जो $(0, -1, 1)$ के समांतर है।शीर्षलंब $BQ$ का समीकरण $\frac{x-3}{0} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1}$ है।दोनों शीर्षलंबों के समीकरणों को हल करने पर: $AP$ से $y=1$,और $BQ$ से $\frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow 1-2 = -(z-3) \Rightarrow -1 = -z+3 \Rightarrow z=4$। $BQ$ से $x=3$ प्राप्त होता है,इसलिए लंबकेंद्र $(3,1,4)$ है।

बिंदुओं $(2,1,5)$,$(3,2,3)$ और $(4,0,4)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का लंबकेंद्र (orthocentre) ज्ञात कीजिए।

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रेखाओं $\frac{x - 6}{3} = \frac{y - 7}{-1} = \frac{z - 4}{1}$ और $\frac{x}{-3} = \frac{y + 9}{2} = \frac{z - 2}{4}$ के बीच की न्यूनतम दूरी की रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\vec{r}=(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k})$ और $\vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\mu(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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