एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $\frac{2}{5}$ है और दूसरी घटना के घटित न होने की प्रायिकता $\frac{3}{10}$ है। यदि ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं,तो केवल एक घटना के घटित होने की प्रायिकता क्या है?

यदि $7$ पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो ऊपरी फलक पर सभी छह अंक दिखाई देने की प्रायिकता किसके बराबर है -

समुच्चय $\{1, 2, \ldots, 100\}$ से एक संख्या $n$ यादृच्छिक रूप से चुनें। वर्ष $2014$ के पहले सात दिनों में से एक दिन यादृच्छिक रूप से चुनें और चुने गए दिन से शुरू होने वाले $n$ लगातार दिनों पर विचार करें। क्या प्रायिकता है कि चुने गए $n$ दिनों में,रविवारों की संख्या सोमवारों की संख्या से भिन्न है?

मान लीजिए कि $7$ प्रेक्षणों $2, 4, 10, x, 12, 14, y$ (जहाँ $x > y$) का माध्य और प्रसरण क्रमशः $8$ और $16$ हैं। समुच्चय $\{1, 2, 3, x-4, y, 5\}$ में से दो संख्याएँ बिना प्रतिस्थापन के एक के बाद एक चुनी जाती हैं। तो इस बात की प्रायिकता कि चुनी गई दो संख्याओं में से छोटी संख्या $4$ से कम है, क्या होगी:

मान लीजिए $X$ और $Y$ दो ऐसी घटनाएँ हैं कि $P(X \mid Y)=\frac{1}{2}$,$P(Y \mid X)=\frac{1}{3}$,और $P(X \cap Y)=\frac{1}{6}$ है। निम्नलिखित में से कौन सा (से) सही है (हैं)?
$(A)$ $P(X \cup Y)=\frac{2}{3}$
$(B)$ $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं
$(C)$ $X$ और $Y$ स्वतंत्र नहीं हैं
$(D)$ $P(X^C \cap Y)=\frac{1}{3}$

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
अभिकथन $(A)$: यदि $P_1, P_2, P_3$ तीन स्वतंत्र घटनाओं के घटित होने की प्रायिकताएं हैं, तो उनमें से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता $1 - [(1 - P_1)(1 - P_2)(1 - P_3)]$ है।
तर्क $(R)$: किन्हीं तीन स्वतंत्र घटनाओं $A, B$ और $C$ के लिए, $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)$.
निम्नलिखित में से सही विकल्प है: