किन्हीं r क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफ | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $n, n+1, n+2, \dots, n+r-1$ हैं। उनका गुणनफल $P = n(n+1)(n+2)\dots(n+r-1)$ द्वारा दिया जाता है। हम जान

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$r!$

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(A) मान लीजिए कि $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $n, n+1, n+2, \dots, n+r-1$ हैं। उनका गुणनफल $P = n(n+1)(n+2)\dots(n+r-1)$ द्वारा दिया जाता है। हम जानते हैं कि $n+r-1$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या द्विपद गुणांक $\binom{n+r-1}{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$ द्वारा दी जाती है। इसे $\frac{(n+r-1)(n+r-2)\dots(n)}{r!} = \binom{n+r-1}{r}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। चूंकि $\binom{n+r-1}{r}$ हमेशा एक पूर्णांक होता है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि गुणनफल $n(n+1)\dots(n+r-1)$ हमेशा $r!$ से विभाज्य होता है।

किन्हीं $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा किससे विभाज्य होता है?

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