समीकरण x^4+x^3-4x^2+x+1=0 के मूलों को h से कम | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$ प्राप्त होता है। माना $y = x

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$35$

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(A) दिया गया समीकरण $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$ प्राप्त होता है। माना $y = x + \frac{1}{x}$,तो $y^2 - 2 + y - 4 = 0 \Rightarrow y^2 + y - 6 = 0$। $(y+3)(y-2) = 0$,अतः $y = 2$ या $y = -3$। यदि $x + \frac{1}{x} = 2$,तो $x=1, 1$। यदि $x + \frac{1}{x} = -3$,तो $x^2 + 3x + 1 = 0$,अतः $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$। माना मूल $r_1, r_2, r_3, r_4$ हैं। दो मूलों के गुणनफल का योग $\sum r_i r_j = -4$ है। जब मूलों को $h$ से कम किया जाता है,तो नए मूल $r_i - h$ होते हैं। $x^2$ का नया गुणांक $\sum (r_i - h)(r_j - h) = 0$ है। इसका विस्तार $\sum r_i r_j - 3h \sum r_i + 6h^2 = 0$ होता है। मूल समीकरण से,$\sum r_i = -1$ और $\sum r_i r_j = -4$। इन मानों को रखने पर,$-4 - 3h(-1) + 6h^2 = 0 \Rightarrow 6h^2 + 3h - 4 = 0$। $h$ में इस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। अतः,$\alpha + \beta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ और $\alpha \beta = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$। तब $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{4} + \frac{8}{3} = \frac{35}{12}$। अतः,$12(\alpha - \beta)^2 = 12 	imes \frac{35}{12} = 35$।

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