समुच्चय $\{-1, 0, 1\}$ एक गुणात्मक समूह (multiplicative group) नहीं है,क्योंकि इसमें किस नियम का पालन नहीं होता है?

द्वि-संक्रियाओं $^*: R \times R \rightarrow R$ और $o: R \times R \rightarrow R$ पर विचार करें,जो $a \,^*\, b = |a-b|$ और $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ के रूप में परिभाषित हैं। सिद्ध कीजिए कि $^*$ क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है,और $o$ साहचर्य है लेकिन क्रमविनिमेय नहीं है। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$। [यदि ऐसा है,तो हम कहते हैं कि संक्रिया $^*$ संक्रिया $o$ पर वितरित होती है]। क्या $o$,$^*$ पर वितरित होता है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

एक समूह $(G, *)$ में $10$ अवयव हैं। $G$ के अवयवों की न्यूनतम संख्या,जो स्वयं के प्रतिलोम हैं,है

निर्धारित कीजिए कि समुच्चय $N$ पर निम्नलिखित में से कौन सी द्विआधारी संक्रियाएँ साहचर्य हैं और कौन सी क्रमविनिमेय हैं। $a * b = \frac{a+b}{2}$,जहाँ $a, b \in N$.

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषाओं में से कौन सी द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है। यदि $*$ द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $Z^+$ पर,$*$ को $a * b = |a - b|$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

नीचे परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Z^+$ पर,$a ^* b = a^b$ परिभाषित करें।