રેખા $r = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k})$ અને સમતલ $r \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) = 5$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.

જો $\hat{i}+\hat{j}$ અને $3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ બિંદુઓને જોડતી રેખા,$2 \hat{i}+4 \hat{j}$ બિંદુમાંથી પસાર થતા અને $3 \hat{j}+5 \hat{k}$ તથા $3 \hat{i}-\hat{k}$ સદિશોને સમાંતર સમતલને $P$ બિંદુએ મળે,તો બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ શોધો.

જો બિંદુ $(2,3,1)$ નું રેખા $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-1}$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબમાંથી પસાર થતા અને રેખા $\frac{x-2}{3}=\frac{1-y}{2}=\frac{z+1}{1}$ ને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ $\alpha x+\beta y+\gamma z=24$ હોય,તો $\alpha+\beta+\gamma$ ની કિંમત ..... થાય.

બિંદુ $(3, 4, 5)$ નું રેખા $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2}$ અને સમતલ $x+y+z=2$ ના છેદબિંદુથી અંતર કેટલું છે ($\text{એકમ}$ માં)?

ધારો કે $P$ એ $(1,0,1), (1,-2,1)$ અને $(0,1,-2)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું સમતલ છે. ધારો કે સદિશ $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ એવું છે કે જેથી $\vec{a}$ એ સમતલ $P$ ને સમાંતર છે,$(\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$ ને લંબ છે અને $\vec{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2$ છે,તો $(\alpha - \beta + \gamma)^2$ ની કિંમત શોધો.

સમતલો $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=1$ અને $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને $x$-અક્ષને સમાંતર હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.