वक्र y = y(x) पर किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श | vedclass

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Question

(B) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ है।अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+(y/x)^2}{2(y/x)}$ प्राप्त होता

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$4 \sqrt{3}$

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(B) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ है।अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+(y/x)^2}{2(y/x)}$ प्राप्त होता है।माना $y = tx$,तब $\frac{dy}{dx} = t + x\frac{dt}{dx}$।समीकरण में मान रखने पर: $t + x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t}$।$x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t} - t = \frac{1-t^2}{2t}$।चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2t}{1-t^2} dt = \int \frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1-t^2| = \ln|x| + C$,जिसका अर्थ है $\ln|1-t^2|^{-1} = \ln|cx|$।अतः,$\frac{1}{1-t^2} = cx$,या $1-t^2 = \frac{1}{cx}$।$t = y/x$ रखने पर: $1 - \frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow \frac{x^2-y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow x^2-y^2 = \frac{x}{c}$।दिया है $y(2) = 0$,अतः $2^2 - 0^2 = \frac{2}{c} \Rightarrow 4 = \frac{2}{c} \Rightarrow c = \frac{1}{2}$।समीकरण $x^2 - y^2 = 2x$ बन जाता है।$x = 8$ पर: $8^2 - y^2 = 2(8) \Rightarrow 64 - y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 48$।अतः,$y = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$।

वक्र $y = y(x)$ पर किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{x^2+y^2}{2xy}$ है,जहाँ $x > 0$ है। यदि $y(2) = 0$ है,तो $y(8)$ का मान है

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दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$; जब $x=1$ तब $y=1$.

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{4y^3+2yx^2}{3xy^2+x^3}$ का हल है,जहाँ $y(1)=1$ है। यदि किसी $n \in N$ के लिए $y(2) \in [n-1, n)$ है,तो $n$ का मान $\dots\dots$ है।

अवकल समीकरण $2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y^2$ का हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $p$ एक स्थिरांक है):

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