સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$,જેના માટે $n! < {\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)^n}$ સાચું છે તે

જો $_nP_r = 30240$ અને $\binom{n}{r} = 252$ હોય,તો $(n, r) = \dots$

જો $_n{P_4} = 24 \times \binom{n}{5}$ હોય,તો $n = \dots$

એક માણસને $7$ સંબંધીઓ છે,જેમાંથી $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે; તેની પત્નીને બીજા $7$ સંબંધીઓ છે,જેમાંથી $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે. તેઓ $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષોને પાર્ટીમાં એવી રીતે આમંત્રિત કરી શકે કે જેથી માણસના $3$ સંબંધીઓ અને પત્નીના $3$ સંબંધીઓ હોય,તો તે કુલ કેટલી રીતે શક્ય છે?

જો $6000$ થી મોટી અને $10000$ થી નાની તમામ સંખ્યાઓ અંકો $3, 5, 6, 7, 8$ નો ઉપયોગ કરીને અંકોના પુનરાવર્તન વગર બનાવવામાં આવે,તો તેમાં એકી સંખ્યાઓ અને બેકી સંખ્યાઓની સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત કેટલો થાય?

ચાર વખત પાસો ફેંકતા સરવાળો $16$ મળે તેવી રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?