y(1) = 0 के साथ x frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}$ है।$x$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + e^{y/x}$ प्राप्त होता है।यह

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$e^{-y/x} + \log x = 1$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}$ है।$x$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + e^{y/x}$ प्राप्त होता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।माना $y = vx$, तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + e^v$।यह सरल होकर $x \frac{dv}{dx} = e^v$ हो जाता है।चरों को अलग करने पर: $e^{-v} dv = \frac{1}{x} dx$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-v} dv = \int \frac{1}{x} dx$, जिससे $-e^{-v} = \log x + c$ प्राप्त होता है।$v = y/x$ प्रतिस्थापित करने पर: $-e^{-y/x} = \log x + c$।शर्त $y(1) = 0$ का उपयोग करने पर: $-e^{-0/1} = \log 1 + c \Rightarrow -1 = 0 + c \Rightarrow c = -1$।अतः, $-e^{-y/x} = \log x - 1$, जिसे व्यवस्थित करने पर $e^{-y/x} + \log x = 1$ प्राप्त होता है।

$y(1) = 0$ के साथ $x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}$ का हल क्या है?

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