अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{y}{x log_{e} | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ

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$2y = \log_{e} x + \frac{1}{\log_{e} x}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \frac{1}{x \log_{e} x}$ और $Q = \frac{1}{x}$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx}$ द्वारा प्राप्त होता है।माना $u = \log_{e} x$, तो $du = \frac{1}{x} dx$. अतः, $\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log_{e} u = \log_{e}(\log_{e} x)$.इसलिए, $IF = e^{\log_{e}(\log_{e} x)} = \log_{e} x$.हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ है।$y \log_{e} x = \int \frac{1}{x} \log_{e} x dx$.माना $v = \log_{e} x$, तो $dv = \frac{1}{x} dx$. समाकलन $\int v dv = \frac{v^2}{2} + C = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$ हो जाता है।अतः, $y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$.जब $x = e$ है तब $y = 1$ दिया गया है, इसलिए $1 \cdot \log_{e} e = \frac{(\log_{e} e)^2}{2} + C$.$1 = \frac{1}{2} + C \implies C = \frac{1}{2}$.$C$ का मान रखने पर, $y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + \frac{1}{2}$.दोनों पक्षों को $\log_{e} x$ से भाग देने या $2$ से गुणा करने पर, $2y \log_{e} x = (\log_{e} x)^2 + 1$, जो सरल होकर $2y = \log_{e} x + \frac{1}{\log_{e} x}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ का हल, जब $x = e$ पर $y = 1$ की शर्त दी गई हो, क्या है?

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