$2, 4, 6, 8$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सभी $4$ अंकीय संख्याओं का योग क्या है? (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है)

$15$ क्रमिक क्रमांकित टिकटों में से $3$ बच्चे $10$ टिकटों को आपस में इस प्रकार वितरित करते हैं कि उन्हें $5, 3$ और $2$ टिकटों के क्रमिक ब्लॉक मिलते हैं,तो यह कितने तरीकों से संभव है?

यदि $9$ पाठ्यक्रम उपलब्ध हैं और प्रत्येक छात्र के लिए $2$ पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं,तो एक छात्र $5$ पाठ्यक्रमों का कार्यक्रम कितने तरीकों से चुन सकता है?

यदि $^nC_{r-1} = 36$,$^nC_r = 84$ और $^nC_{r+1} = 126$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक बक्से में $2$ सफेद गेंदें,$3$ काली गेंदें और $4$ लाल गेंदें हैं। यदि बक्से से $3$ गेंदें निकाली जानी हैं,तो कितनी तरह से गेंदें निकाली जा सकती हैं,यदि कम से कम एक काली गेंद शामिल हो?

एक पार्टी में,$12$ व्यक्तियों को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित किया जाना है। यदि दो विशेष व्यक्ति एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं,तो कुल व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?