$A.P.$ $54, 51, 48, \dots$ ના કેટલા પદોનો સરવાળો $513$ થાય? બે અલગ-અલગ જવાબ મળવાનું કારણ સમજાવો.

(A) $A.P.$ $54, 51, 48, \dots$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 54$,સામાન્ય તફાવત $d = 51 - 54 = -3$ અને $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = 513$ છે.
સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$513 = \frac{n}{2}[2(54) + (n - 1)(-3)]$
$1026 = n[108 - 3n + 3]$
$1026 = n[111 - 3n]$
$1026 = 111n - 3n^{2}$
$3n^{2} - 111n + 1026 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$n^{2} - 37n + 342 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n - 18)(n - 19) = 0$
આમ,$n = 18$ અથવા $n = 19$.
બે જવાબ મળવાનું કારણ: આ $A.P.$ નું $19$ મું પદ $T_{19} = a + 18d = 54 + 18(-3) = 54 - 54 = 0$ છે. $19$ મું પદ $0$ હોવાથી,પ્રથમ $18$ પદોના સરવાળામાં $0$ ઉમેરવાથી સરવાળામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. તેથી,$S_{18}$ અને $S_{19}$ બંને $513$ થાય છે.